知否 | 1为什么便是0.99999....

作者 | 平章

出品 | 网易科技《知否》栏目组

0.99999...=1

月朔看，这个等式貌似不会创立，0.9999....给人的第一感受该是无穷靠近于1、但应该比1小。

这着实是一个被重复提起的数学题目，尤其是在中国各大收集社区中。接下来的题目是：这个等式为什么创立？在什么环境下能创立？怎样证明它？

起首，我们来看看网上传播的三种证明法。

最简朴的三种……

直接来看看这三种证明吧：

1、∵1/3=0.33333...

3X0.33333..=0.99999...

3X1/3=1

∴0.99999...=1

2、令0.99999...为A

10A=10X0.99999...=9.9999...

双方都减去一个A

9A=9.99999...-0.99999...

可以得出：9A=9

双方除以9得出：A=1

∴0.99999...=1

3、0.99999...=0.9+0.09+0.009+0.0009……

很明明，右侧是一个求和的无限递降等比数列。

回想一劣等比数列求和公式：Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

而当n趋向于无限大时，求和公式S=a1/(1-q)

∴0.99999...=0.9/（1-0.1）=0.9/0.9=1

虽然，这三种方法都不严谨，只是为了便于让各人领略。譬喻，第二种方法就是大卫·福斯特·华莱士在他的 《Everything and More》一书中给出的。

这个要领敏捷被打脸。数学家威廉姆斯·拜尔在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无穷个分数加起来的进程，也可以代表这个进程的功效。很多门生仅仅把0.999... 看作一个进程，可是1是一个数，进程怎么会便是一个数呢？这就是数学中的二义性？他们并没有发明其拭魅这个无穷的进程可以领略成一个数。看了上面这个证明而信托等式创立的门生，也许还没有真正分明无穷小数的寄义，更不消说领略这个等式的意义了。

至于靠谱的证明法，因为其实是超纲太多，我就纷歧一说了（我会汇报你，那些证明进程我看了很懵、完全木有看懂吗？）

不外提及来，第三个要领中着实已经用到了极限，以是要领略这个等式，必要先相识下极限。

什么是极限？

百度百科的表明，“极限”是数学中的分支——微积分的基本观念，广义的“极限”是指“无穷接近而永久不能达到”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，，此变量在变大（可能变小）的永久变革的进程中，逐渐向某一个确定的数值A不绝地迫近而“永久不可以或许重合到A”（“永久不可以或许便是A，可是取便是A已经足够取得高精度计较功效）的进程中，此变量的变革，被工钱划定为“永久接近而不断止”、其有一个“不绝地极为接近A点的趋势”。极限是一种“变革状态”的描写。此变量永久趋近的值A叫做“极限值”（虽然也可以用其他标记暗示）。

请留意：“取便是A已经足够取得高精度计较功效”。

以是，凭证极限的界说，0.99999..这个无穷小数的极限应该就是1。

用极限头脑办理题目的一样平常步调可归纳综合为：